LGS Matematik Soru Bankası / Çarpanlar ve Katlar

1. Çarpanlar ve Katlar

1. Ünite

Soru 1 · Kavrama · Asal çarpanlara ayırma ve üslü yazım· M.8.1.1.1
Aşağıda bir N doğal sayısının çarpan ağacı verilmiştir. Ağacın bazı dalları henüz sona kadar ayrılmamıştır.
Buna göre N sayısının asal çarpanlarının üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
1. A)
  $2 \cdot 3 \cdot 5^{2}$
2. B)
  $2 \cdot 5^{2} \cdot 6$
3. C)
  $2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2}$
4. D)
  $2^{3} \cdot 7$
İpucu
- Ağacın en altındaki sayıların hepsi asal mı? Asal olmayanı ayırmaya devam et.
- Aynı asal sayı ağacın farklı dallarında da çıkabilir; kaç kez çıktığını say.
Cevap ve çözüm
Doğru cevap: C
1. Çarpan ağacında her sayı, altındaki iki sayının çarpımıdır: N = 6 · 50 = 300.
2. Ayrılmamış 6 asal değildir: 6 = 2 · 3. Öbür dal 50 = 2 · 25 = 2 · 5 · 5.
3. Bütün asal çarpanlar: 2, 3, 2, 5, 5. 2 iki kez, 3 bir kez, 5 iki kez geçer.
4. N = $2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2}$ olur.
Soru 2 · Kavrama · Üslü yazımdan EBOB· M.8.1.1.2
Ece, a ve b doğal sayılarını asal çarpanlarına ayırarak aşağıdaki gibi yazmıştır.
a = $2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ b = $2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 7$
Buna göre a ve b sayılarının en büyük ortak böleninin (EBOB) üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
1. A)
  $2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 7$
2. B)
  $2^{3} \cdot 3^{3}$
3. C)
  $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7$
4. D)
  $2^{2} \cdot 3^{2}$
İpucu
- EBOB iki sayıyı da bölmelidir. Bir sayıda hiç bulunmayan asal çarpan o sayıyı böler mi?
- Ortak tabanlarda hangi üssü seçersen çarpan iki sayının da içinde kalır?
Cevap ve çözüm
Doğru cevap: D
1. EBOB, iki sayının da böleni olan en büyük sayıdır; bu yüzden yalnız iki sayıda da bulunan asal çarpanlar alınır.
2. Ortak tabanlar 2 ve 3'tür; 5 yalnız a'da, 7 yalnız b'de vardır.
3. Her ortak tabanın küçük üssü alınır: 2 için 3 ile 2'den 2, 3 için 2 ile 3'ten 2.
4. EBOB = $2^{2} \cdot 3^{2}$ olur.
Soru 3 · Pekiştirme · EBOB problemi: eşit parçalara ayırma· M.8.1.1.2
Bir marangoz 72 cm ve 120 cm uzunluğundaki iki çıtayı ayrı ayrı kesiyor. Bütün parçaların uzunlukları eşit ve santimetre cinsinden bir doğal sayı olacak, hiç artan parça kalmayacaktır. Marangoz parçaları olabildiğince uzun kesmek istiyor.
Buna göre marangoz iki çıtada toplam kaç kesim yapar?
1. A)
  6
2. B)
  7
3. C)
  8
4. D)
  24
İpucu
- Parça uzunluğu iki çıta uzunluğunu da tam bölmeli ve olabildiğince büyük olmalı.
- Bir çubuğu 2 parçaya ayırmak için 1 kesim yeter. Parça sayısı ile kesim sayısı arasındaki ilişkiyi kullan.
Cevap ve çözüm
Doğru cevap: A
1. Parça uzunluğu iki çıtayı da tam bölmeli ve en büyük olmalı: EBOB(72, 120) = 24 cm.
2. 72 : 24 = 3 parça, 120 : 24 = 5 parça.
3. Bir çıtayı n parçaya ayırmak için n − 1 kesim yapılır: 2 + 4 = 6 kesim.
Soru 4 · Pekiştirme · EKOK problemi: birlikte tekrar eden olaylar· M.8.1.1.2
Bir limanın girişindeki iki deniz fenerinden biri 12 saniyede bir, öteki 18 saniyede bir ışık veriyor. İki fener saat 20.00'de aynı anda ışık verdi.
Buna göre 20.00 ile 20.05 arasında (20.00 ve 20.05 dâhil) iki fener toplam kaç kez aynı anda ışık verir?
1. A)
  8
2. B)
  9
3. C)
  36
4. D)
  51
İpucu
- İki fener aynı anda ışık verdikten sonra yeniden aynı anda ışık vermesi için geçen süre, iki sürenin de katı olmalı.
- Süreyi saniyeye çevir; ilk anın sayılıp sayılmadığına soru köküne bakarak karar ver.
Cevap ve çözüm
Doğru cevap: B
1. İki fener EKOK(12, 18) = 36 saniyede bir aynı anda ışık verir.
2. 5 dakika = 300 saniyedir. 300 : 36 işleminde bölüm 8, kalan 12; yani 20.00'den sonra 8 kez daha birlikte yanarlar.
3. 20.00'deki ilk yanma da sayılır: 8 + 1 = 9 kez.
Soru 5 · LGS düzeyi · EBOB problemi: koşullu eşit paketleme· M.8.1.1.2
Bir manav, depodaki meyveleri satışa hazırlamak için paketliyor. Depodaki meyve sayıları tabloda verilmiştir.
Meyve Sayı
Elma 84
Armut 126
Manav her pakete yalnız bir tür meyve koyacak ve bütün paketlerde eşit sayıda meyve olacaktır. Hiç meyve artmayacaktır. Paketler taşınırken zarar görmesin diye bir pakete en fazla 30 meyve konabilir.
Buna göre manav bütün meyveleri en az kaç pakete koyabilir?
1. A)
  5
2. B)
  7
3. C)
  10
4. D)
  21
İpucu
- Bir paketteki meyve sayısı, her meyvenin sayısını tam bölmelidir.
- En büyük ortak bölen 30'dan büyükse ortak bölenlerin listesine bak.
Cevap ve çözüm
Doğru cevap: C
1. Bir paketteki meyve sayısı 84, 126 sayılarının ikisini de bölmelidir; yani bu sayıların ortak bölenidir.
2. EBOB(84, 126) = 42; ortak bölenler: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
3. Paket sayısının en az olması için paketteki meyve sayısı en büyük olmalı; ama en fazla 30 olabilir. 42 uygun değil, 30'u aşmayan en büyük ortak bölen 21'dir.
4. Paket sayısı: 84 : 21 + 126 : 21 = 4 + 6 = 10.
Soru 6 · LGS düzeyi · Aralarında asal sayılar ve EKOK· M.8.1.1.3
Birbirine geçmiş iki dişliden büyük olanı 24 dişlidir. Küçük dişlinin diş sayısı 10 ile 20 arasında (ikisi de dâhil) seçilecektir. Dişliler dönmeye başlamadan önce birbirine değen dişler işaretlenmiştir.
Dişlileri tasarlayan mühendis, işaretli dişlerin yeniden karşılaşması için büyük dişlinin olabildiğince çok tur atmasını istiyor.
Buna göre işaretli dişler ilk kez yeniden karşılaştığında büyük dişli en çok kaç tur atmış olur?
1. A)
  19
2. B)
  20
3. C)
  24
4. D)
  456
İpucu
- İşaretli dişler, iki dişliden de aynı sayıda diş geçtiğinde karşılaşır. Bu sayı iki diş sayısının ortak katıdır.
- Büyük dişlinin tur sayısı n ile 24'ün ortak böleni olmadığında en büyük olur.
Cevap ve çözüm
Doğru cevap: A
1. Küçük dişli n dişliyse işaretli dişler, iki dişliden de EKOK(n, 24) diş geçtiğinde yeniden karşılaşır.
2. Büyük dişlinin turu EKOK(n, 24) : 24'tür. Bu değer, n ile 24 aralarında asal olduğunda n'ye eşittir; ortak bölen varsa küçülür (örneğin n = 20 için EKOK = 120, tur = 5).
3. 10 ile 20 arasında 24 ile aralarında asal olan sayılar 11, 13, 17 ve 19'dur; en büyüğü 19.
4. n = 19 için EKOK = 456, büyük dişli 456 : 24 = 19 tur atar.

Meyve	Sayı
Elma	84
Armut	126